ESPERANZA MATEMÁTICA
La esperanza
matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del
producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.
Ejemplo 1
Sea X el resultado de lanzar un dado, entonces X toma valores
F (1;2;3;4;5;6 ) con probabilidad uniforme en este conjunto. Por lo tanto
Observamos que en este caso el valor esperado
no es un valor posible de la variable aleatoria
La esperanza matemática de una variable discreta tiene las siguientes
propiedades.
Propiedad 1.
Si X > 0 y existe E(X), entonces
E(X) > 0.
Es obvio que si X > 0, los valores x n que figuran en la suma (Ej.1) son
no-negativos, y si dicha serie es convergente, la suma también será
no-negativa.
Propiedad 2.
Si X es una variable aleatoria acotada entonces existe E(X).
Decir que la variable aleatoria X es acotada es decir que existe una
constante C tal que
y, por lo tanto.
Es decir que las sumas parciales de la serie (Ej.1) resultan estar acotadas
por la constante C. Ahora bien, recordemos que para una serie de términos
no-negativos { es el caso de la serie (Ej.1) { es necesario y suficiente para
que converja que sus sumas parciales estén acotadas. Como las de (Ej.1) lo
están, esta serie es convergente y el valor esperado de X existe.
Propiedad 3.
Sea A un evento y 1A la variable aleatoria definida por:
Entonces
E(1A) =P(A) : Es claro que1A es discreta, ya que toma solamente
dos valores y
E(1A ) – 1 x P (1A - 1) + 0 x P(1A - 0) - P(A)
LA VARIANZA
Es la media aritmética del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.
Propiedades de la varianza
1. Es siempre un valor no negativo, que puede
ser igual o distinta de 0. Será 0 solamente cuando
2. La varianza es la medida de dispersión
cuadrática optima por ser la menor de todas.
3. Si a todos los valores de la variable se
le suma una constante la varianza no se modifica.
Veámoslo:
)Si a
xi le sumamos una
constante xi’ = xi + k tendremos (sabiendo que
4. Si
todos los valores de la variable se multiplican por una constante la
varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicha constante.
Veámoslo:
Si
a xi’ = xi · k tendremos (sabiendo que
5. Si en una distribución obtenemos una serie
de subconjuntos disjuntos, la varianza de la distribución inicial se relaciona con la varianza de cada uno de
los subconjuntos mediante la expresión
Siendo:
Ni el nº de elementos del
subconjunto (i)
S2i la varianza del subconjunto (i)
Observaciones sobre la varianza
La varianza, al
igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.
En los casos
que no se pueda
hallar la media, tampoco será posible hallar la varianza.
La varianza no
viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones
están elevadas al cuadrado.
DESVIACIÓN TÍPICA O ESTANDAR
La
desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza y se representa por la letra
σ. Para calculara se calcula la varianza y se saca la raíz. Las
interpretaciones que se deducen de la desviación típica son, por lo tanto,
parecidas a las que se deducían de la varianza.
Comparando
con el mismo tipo de datos, una desviación típica elevada significa que los
datos están dispersos, mientras que un valor bajo indica que los valores son
próximos los unos de los otros, y por lo tanto de la media.
Propiedades de la desviación típica o estándar
A su
vez la desviación típica, también tiene una serie de propiedades que se deducen
fácilmente de las de la varianza (ya que la desviación típica es la raíz
cuadrada de la varianza):
1. La desviación típica es siempre un valor
no negativo S será siempre 0 por definición. Cuando S =
0 y X = xi (para todo i).
2. Es la medida de dispersión óptima por ser
la más pequeña.
3. Si a todos los valores de la variable se
le suma una misma constante la desviación típica no varía.
4. Si a todos los valores de la variable se
multiplican por una misma constante, la desviación típica queda multiplicada
por el valor absoluto de dicha constante.
OTRA INFORMACIÓN
Estas son las
formulas generales para calcular la desviación muestral y poblacional, y la de
la varianza profesor.
